Transmission de la divisibilité

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Modifié par Clemni

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Propriété

Soit $a$ , $b$ , $c \in Z$ .

Si $b$ divise $a$ et si $c$ divise $b$ , alors $c$ divise $a$ .
Si $c$ divise $a$ et si $c$ divise $b$ , alors $c$ divise toute combinaison linéaire $a u + b v$ avec $u$ , $v \in Z$ .
Si $b$ divise $a$ , alors $b c$ divise $a c$ .

Démonstration

Supposons que $b$ divise $a$ et que $c$ divise $b$ .
Il existe $k$ , $k^{'} \in Z$ tels que $a = k b$ et $b = k^{'} c$ .
On a donc $a = k b = k (k^{'} c) = (k k^{'}) c$ avec $k k^{'} \in Z$ , donc $c$ divise $a$ .
Supposons que $c$ divise $a$ et que $c$ divise $b$ .
Il existe $k$ , $k^{'} \in Z$ tels que $a = k c$ et $b = k^{'} c$ .
Pour tous $u$ , $v \in Z$ , on a donc $a u + b v = k c u + k^{'} c v = (k u + k^{'} v) c$ avec $k u + k^{'} v \in Z$ , donc $c$ divise $a u + b v$ .
Supposons que $b$ divise $a$ .
Il existe $k \in Z$ tel que $a = k b$ .
On a donc $a c = k b c$ , donc $b c$ divise $a c$ .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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